由4個全同正三角形面封閉圍成，具有6個棱和4個頂點(diǎn)，全部頂點(diǎn)可以內(nèi)接于球的正凸多面體 - 正四面體，以及其變形體。

基本介紹

幾何體，錐體的一種，由四個三角形組成，亦稱為四面體，它的四個面（一個叫底面，其余叫側(cè)面）都是三角形。

平面上的多邊形至少三條邊，空間的幾何體至少四個面，所以四面體是空間最簡單的幾何體。四面體又稱三棱錐。三棱錐有六條棱長，四個頂點(diǎn)，四個面。底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心的三棱錐稱作正三棱錐；而由四個全等的正三角形組成的四面體稱為正四面體。

體積公式

棱錐的側(cè)面積及全面積、體積公式、底面積公式

棱錐的側(cè)面積及全面積

棱錐的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的，展開圖的面積，就是棱錐的側(cè)面積，則S棱錐側(cè)=S1+S2+…+Sn（其中Si，i=1，2…n為第i個側(cè)面的面積）

S全=S棱錐側(cè)+S底

棱錐的底面積公式:S底=長×寬

棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體，錐體的體積公式是：v=1/3sh（s為錐體的底面積，h為錐體的高）。

斜棱錐的側(cè)面積=各側(cè)的面積之和

正棱錐的側(cè)面積：S正棱錐側(cè)=1/2chˊ（c為底面周長，hˊ為斜高）。

棱錐的中截面面積：S中截面=1/4S底面

公式說明

折疊體積

棱錐的體積取決于平面外頂點(diǎn)到底面的距離，以及底面多邊形的面積。前者稱為棱錐的高，后者稱為棱錐的底面積。設(shè)為棱錐的高，為棱錐的底面積，為棱錐的體積，則棱錐的體積可以用以下公式計算：這個公式早在公元三世紀(jì)就得到了證明?，F(xiàn)代的證明一般使用積分。

假設(shè)有棱錐PA1A2…An，其中A1A2…An為底面的n邊形，P為棱錐頂點(diǎn)。設(shè)P在底面的投影為Q點(diǎn)，PQ的長度為h。在線段PQ上取一點(diǎn)X，使得線段PX的長度為x：0≤x≤h，那么過點(diǎn)X而且與底面平行的平面截棱錐得到的形狀是一個和底面的n邊形相似的n邊形，記作Ax1Ax2…Axn，它的面積Sx與底面積S的比值等于PX與PQ的比值的平方：在點(diǎn)X附近截取的“一片”棱錐“切片”，它的體積大約等于：所以棱錐的體積等于積分：對于正棱錐，假設(shè)它的底面是正n邊形，邊長為a，高是h，那么底面積是：所以它的體積是：

折疊表面積

棱錐的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的，展開圖的面積，就是棱錐的側(cè)面積Sc，其中是第i個側(cè)面的面積。棱錐的表面積等于棱錐的側(cè)面積Sc加上底面積S。假設(shè)頂點(diǎn)的投影Q點(diǎn)到第i個側(cè)面對應(yīng)的底邊的距離是di，底邊的長度是ai，那么棱錐的側(cè)面積：對于正n棱錐，頂點(diǎn)到底面的投影是底面正n邊形的中心。所以投影點(diǎn)到每一邊的距離都相等：因此棱錐的斜高也就是側(cè)面三角形的高：棱錐的側(cè)面積[4]:87：其中p是底面正n邊形的周長。假設(shè)底面正n邊形的邊長是a，高是h，那么它的周長是na，中心到每一邊的距離是。所以斜高是：側(cè)面積是：

應(yīng)用實(shí)例

三棱錐P—ABC的側(cè)棱PA,PB,PC兩兩互相垂直，側(cè)面面積分別是6,4,3，則三棱錐的體積是多少？

解：設(shè)PA=X,PB=Y,PC=Z.∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.S△PAB=6,S△PBC=4,S△PAC=3.

∴X*Y=12““““““““““““①

Y*Z=8““““““““““““`②

Z*X=6““““““““““““`③

解得：X=3,Y=4,Z=2.

∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC.

∴PA⊥平面PBC PA=X=3.

∴三棱錐的體積：1／3*S△PBC*PA=4。